Κατανομή Poisson: Πρόβλεψη σκορ στο ποδόσφαιρο

Η Κατανομή Poisson είναι μια μαθηματική έννοια για τη μετατροπή του μέσου όρου σε μια πιθανότητα για μεταβλητά αποτελέσματα σε μια κατανομή. Για παράδειγμα, αν γνωρίζουμε ότι η Manchester City έχει μέσο όρο 1,7 γκολ ανά παιχνίδι, η εφαρμογή της φόρμουλας της Κατανομής Poisson μας λέει ότι αυτός ο μέσος όρος αντιστοιχεί στο να σκοράρει η Manchester City 0 γκολ το 18,3% των περιπτώσεων, 1 γκολ το 31% των περιπτώσεων, 2 γκολ το 26,4% των περιπτώσεων και 3 γκολ το 15% των περιπτώσεων.

Κατανομή Poisson - Υπολογισμός πιθανοτήτων σκορ

Πριν μπορέσουμε να χρησιμοποιήσουμε την Poisson για να υπολογίσουμε την πιο πιθανή τιμή για το σκορ ενός αγώνα, πρέπει να υπολογίσουμε τον μέσο αριθμό των γκολ που κάθε ομάδα είναι πιθανό να σκοράρει σε εκείνο το ματς. Αυτό μπορεί να υπολογιστεί καθορίζοντας την "Δύναμη Επίθεσης" και την "Δύναμη Άμυνας" για κάθε ομάδα και συγκρίνοντάς τες.

Η επιλογή ενός αντιπροσωπευτικού εύρους δεδομένων είναι ζωτικής σημασίας κατά τον υπολογισμό της Δύναμης Επίθεσης και της Δύναμης Άμυνας – πολύ μεγάλο και τα δεδομένα δεν θα είναι σχετικά με την τρέχουσα δύναμη της ομάδας, ενώ πολύ μικρό μπορεί να επιτρέψει στα ακραία δεδομένα να στρεβλώσουν τα στοιχεία. Τα 38 παιχνίδια που έπαιξε κάθε ομάδα στη σεζόν 2015/16 της Αγγλικής Πρέμιερ Λιγκ θα παρέχουν ένα επαρκές μέγεθος δείγματος για την εφαρμογή της Κατανομής Poisson.

Πώς να υπολογίσετε τη Δύναμη Επίθεσης

Το πρώτο βήμα στον υπολογισμό της Δύναμης Επίθεσης βάσει των αποτελεσμάτων της περασμένης σεζόν είναι να καθορίσετε τον μέσο αριθμό των γκολ που σκοράρει κάθε ομάδα, ανά παιχνίδι στην έδρα της και εκτός έδρας.

Υπολογίστε αυτό λαμβάνοντας τον συνολικό αριθμό των γκολ που σκοράρθηκαν την περασμένη σεζόν και διαιρώντας τον με τον αριθμό των παιχνιδιών που έπαιξε:

Συνολικά γκολ σκοραρισμένα στην έδρα / αριθμός παιχνιδιών (σε σεζόν)
Συνολικά γκολ σκοραρισμένα εκτός έδρας / αριθμός παιχνιδιών (σε σεζόν)**\

*Στη σεζόν 2015/16 της Αγγλικής Πρέμιερ Λιγκ, υπήρχαν 567/380 στην έδρα και 459/380 εκτός έδρας, ισοδυναμώντας με μέσο όρο 1,492 γκολ ανά παιχνίδι στην έδρα και 1,207 εκτός.

Μέσος αριθμός γκολ σκοραρισμένων στην έδρα: 1.492
Μέσος αριθμός γκολ σκοραρισμένων εκτός έδρας: 1.207\

Η αναλογία του μέσου όρου μιας ομάδας και του μέσου όρου της λίγκας αποτελεί την "Δύναμη Επίθεσης".

Πώς να υπολογίσετε τη Δύναμη Άμυνας

Θα χρειαστούμε επίσης τον μέσο αριθμό των γκολ που μια ομάδα δέχεται. Αυτό είναι απλά το αντίστροφο των παραπάνω αριθμών (καθώς ο αριθμός των γκολ που σκοράρει μια ομάδα στην έδρα της θα ισούται με τον ίδιο αριθμό που δέχεται μια ομάδα εκτός έδρας):

Μέσος αριθμός γκολ που δέχεται στην έδρα: 1.207
Μέσος αριθμός γκολ που δέχεται εκτός έδρας: 1.492\

Η αναλογία του μέσου όρου μιας ομάδας και του μέσου όρου της λίγκας αποτελεί την "Δύναμη Άμυνας".

Μπορούμε τώρα να χρησιμοποιήσουμε τους παραπάνω αριθμούς για να υπολογίσουμε τη Δύναμη Επίθεσης και τη Δύναμη Άμυνας και για τις δύο ομάδες Tottenham Hotspur και Everton (με ημερομηνία 1η Μαρτίου 2017).

**Πρόβλεψη των γκολ της Tottenham Hotspur

Υπολογίστε τη Δύναμη Επίθεσης της Tottenham:**

Βήμα - 1: Πάρτε τον αριθμό των γκολ που σκόραρε στην έδρα την περασμένη σεζόν η ομάδα της έδρας (Tottenham: 35) και διαιρέστε με τον αριθμό των παιχνιδιών στην έδρα (35/19): 1.842.
Βήμα - 2: Διαιρέστε αυτή την τιμή με τον μέσο όρο των γκολ που σκοράρονται ανά παιχνίδι στην έδρα της σεζόν (1.842/1.492) για να λάβετε μια "Δύναμη Επίθεσης" 1.235.

(35/19) / (567/380) = 1.235

Υπολογίστε τη Δύναμη Άμυνας της Everton:

Βήμα - 1: Πάρτε τον αριθμό των γκολ που δέχθηκε εκτός έδρας την περασμένη σεζόν η ομάδα εκτός έδρας (Everton: 25) και διαιρέστε με τον αριθμό των παιχνιδιών εκτός έδρας (25/19): 1.315. Βήμα - 2: Διαιρέστε αυτήν την τιμή με τον μέσο όρο των γκολ που δέχεται μια ομάδα εκτός έδρας ανά παιχνίδι (1.315/1.492) για να λάβετε μια "Δύναμη Άμυνας" 0.881.

(25/19) / (567/380) = 0.881

Μπορούμε τώρα να χρησιμοποιήσουμε τον ακόλουθο τύπο για να υπολογίσουμε τον πιθανό αριθμό των γκολ που θα μπορούσε να σκοράρει η Tottenham (αυτό γίνεται πολλαπλασιάζοντας τη Δύναμη Επίθεσης της Tottenham με τη Δύναμη Άμυνας της Everton και τον μέσο αριθμό των γκολ στην έδρα στην Premier League):

1.235 x 0.881 x 1.492 = 1.623

Πρόβλεψη των γκολ της Everton

Για να υπολογίσετε τον αριθμό των γκολ που θα μπορούσε να σκοράρει η Everton, απλά χρησιμοποιήστε τους παραπάνω τύπους αλλά αντικαταστήστε τον μέσο αριθμό των γκολ στην έδρα με τον μέσο αριθμό των γκολ εκτός έδρας.

Δύναμη Επίθεσης της Everton:

(24/19) / (459/380) = 1.046

Δύναμη Άμυνας της Tottenham:

(15/19) / (459/380) = 0.653

Με τον ίδιο τρόπο που προβλέψαμε τον αριθμό των γκολ που θα σκοράρει η Tottenham, μπορούμε να υπολογίσουμε τον πιθανό αριθμό των γκολ που θα μπορούσε να σκοράρει η Everton (γίνεται πολλαπλασιάζοντας τη Δύναμη Επίθεσης της Everton με τη Δύναμη Άμυνας της Tottenham και τον μέσο αριθμό των γκολ εκτός έδρας στην Premier League):

1.046 x 0.653 x 1.207 = 0.824

Κατανομή Poisson – Πρόβλεψη πολλαπλών αποτελεσμάτων

Φυσικά, κανένα παιχνίδι δεν τελειώνει 1.623 έναντι 0.824 – αυτό είναι απλά ο μέσος όρος. Η Κατανομή Poisson, μια φόρμουλα που δημιούργησε ο Γάλλος μαθηματικός Simeon Denis Poisson, μας επιτρέπει να χρησιμοποιήσουμε αυτούς τους αριθμούς για να διανείμουμε 100% της πιθανότητας σε μια σειρά αποτελεσμάτων γκολ για κάθε πλευρά.

Φόρμουλα Κατανομής Poisson:

P(x; μ) = (e-μ) (μx) / x!

Ωστόσο, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε online εργαλεία όπως ένας Υπολογιστής Κατανομής Poisson για να κάνει το μεγαλύτερο μέρος της εξίσωσης για εμάς.

Το μόνο που πρέπει να κάνουμε είναι να εισάγουμε τις διαφορετικές περιπτώσεις συμβάντων - στην περίπτωσή μας αποτελέσματα γκολ από 0-5 - και τις αναμενόμενες εμφανίσεις που είναι η πιθανότητα κάθε ομάδας να σκοράρει - στο παράδειγμά μας η Tottenham στο 1.623 είναι ο μέσος όρος της επιτυχίας τους, και η Everton 0.824; ο υπολογιστής θα εξάγει την πιθανότητα του σκορ για το δεδομένο αποτέλεσμα.

Κατανομή Poisson για την αναμέτρηση Tottenham έναντι Everton Γκολ 0 1 2 3 4 5 Tottenham 19,73% 32,02% 25,99% 14,06% 5,07% 1,85% Everton 43,86% 36,14% 14,89% 4,09% 0,84% 0,14%

Αυτό το παράδειγμα δείχνει ότι υπάρχει πιθανότητα 19,73% η Tottenham να αποτύχει να σκοράρει, αλλά πιθανότητα 32,02% να σκοράρει ένα γκολ και πιθανότητα 25,99% να σκοράρει δύο. Η Everton, από την άλλη πλευρά, έχει 43,86% πιθανότητα να μην σκοράρει, 36,14% να σκοράρει ένα και 14,89% να σκοράρει δύο. Ελπίζετε η μία πλευρά να σκοράρει πέντε; Η πιθανότητα είναι 1,85% για την Tottenham ή 0,14% για την Everton - ή 2% για κάθε ομάδα να σκοράρει 5.

Καθώς και τα δύο σκορ είναι ανεξάρτητα (μαθηματικά μιλώντας), μπορείτε να δείτε ότι το αναμενόμενο σκορ είναι 1–0 - συνδυάζοντας τα πιο πιθανά αποτελέσματα για κάθε ομάδα. Αν πολλαπλασιάσετε αυτές τις δύο πιθανότητες μαζί, θα λάβετε την πιθανότητα του αποτελέσματος 1-0 – (0,3202*0,4386) =0,1404 ή 14,04%.

Τώρα ξέρετε πώς να υπολογίζετε πιθανότητες σκορ χρησιμοποιώντας την Κατανομή Poisson για στοιχηματισμό, μπορείτε να συγκρίνετε τα μέτρα σας με τις αποδόσεις ενός μπουκ και να δείτε αν υπάρχουν ασυνέπειες για να εκμεταλλευτείτε, ειδικά αν λάβετε υπόψη τη δική σας αξιολόγηση σχετικών παραγόντων όπως ο καιρός, τραυματισμοί κτλ.

Μετατροπή εκτιμώμενης πιθανότητας σε αποδόσεις

Το παραπάνω παράδειγμα μας έδειξε ότι η ισοπαλία 1-1 έχει πιθανότητα 11,53% (0,3202*0,3614) να συμβεί όταν εφαρμοστεί η φόρμουλα της Κατανομής Poisson. Αλλά τι γίνεται αν θέλατε να γνωρίζετε τις προβλεπόμενες αποδόσεις για την "ισοπαλία", αντί για τα αποτελέσματα μεμονωμένων ισοπαλιών; Θα χρειαζόταν να υπολογίσετε την πιθανότητα για όλες τις διαφορετικές περιπτώσεις ισοπαλίας – 0-0, 1-1, 2-2, 3-3, 4-4, 5-5 κ.λπ.

Για να το κάνετε αυτό, απλά υπολογίστε την πιθανότητα όλων των δυνατών συνδυασμών ισοπαλίας και προσθέστε τις μαζί. Αυτό θα σας δώσει την πιθανότητα μιας ισοπαλίας να συμβεί, ανεξάρτητα από το σκορ.

Φυσικά, υπάρχουν πραγματικά άπειρες δυνατότητες ισοπαλίας (και οι δύο πλευρές θα μπορούσαν να σκοράρουν 10 γκολ η καθεμία, για παράδειγμα) αλλά οι πιθανότητες μιας ισοπαλίας πάνω από 5-5 είναι τόσο μικρές που είναι ασφαλές να τις αγνοήσουμε για αυτό το μοντέλο.

Χρησιμοποιώντας το παράδειγμα της αναμέτρησης Tottenham έναντι Everton, συνδυάζοντας όλες τις ισοπαλίες δίνει μια πιθανότητα 0.2472 ή 24,72% - αυτό θα έδινε πραγματικές αποδόσεις 4.05 (1/0.2472).

Τα όρια της Κατανομής Poisson

Η Κατανομή Poisson είναι ένα απλό προγνωστικό μοντέλο που δεν λαμβάνει υπόψη πολλούς παράγοντες. Οι καταστατικοί παράγοντες – όπως οι συνθήκες του συλλόγου, η κατάσταση του γηπέδου κ.λπ. – και η υποκειμενική αξιολόγηση της αλλαγής κάθε ομάδας κατά τη διάρκεια της περιόδου μεταγραφών αγνοούνται πλήρως.

Σε αυτή την περίπτωση, ο παραπάνω υπολογισμός της φόρμουλας Poisson αποτυγχάνει να ποσοτικοποιήσει οποιοδήποτε αποτέλεσμα θα μπορούσε να είχε ο νέος προπονητής της Everton (Ronald Koeman) στην ομάδα. Επίσης, αποτυγχάνει να λάβει υπόψη την πιθανή κόπωσης της Tottenham τώρα που παίζει σύντομα αγώνα του Europa League.

Οι συσχετίσεις επίσης αγνοούνται· όπως η ευρέως αναγνωρισμένη επίδραση του γηπέδου που δείχνει ότι ορισμένοι αγώνες έχουν την τάση να είναι είτε υψηλού είτε χαμηλού σκοράρισμα.

Αυτές είναι ιδιαίτερα σημαντικές περιοχές σε παιχνίδια χαμηλότερων λιγκών, οι οποίες μπορούν να δώσουν στους παίκτες ένα πλεονέκτημα έναντι των μπουκ. Είναι δυσκολότερο να αποκτήσεις ένα πλεονέκτημα σε μεγάλες λίγκες όπως η Premier League δεδομένης της εμπειρογνωμοσύνης και των πόρων που έχουν στη διάθεσή τους οι σύγχρονοι μπουκ.

Τέλος, αλλά εξίσου σημαντικό, αυτές οι αποδόσεις δεν λαμβάνουν υπόψη το περιθώριο που χρεώνει ένας μπουκ το οποίο είναι ιδιαίτερα σημαντικό στη διαδικασία της αναζήτησης αξίας.